Notice: Function _load_textdomain_just_in_time was called incorrectly. Translation loading for the woo-paypalplus domain was triggered too early. This is usually an indicator for some code in the plugin or theme running too early. Translations should be loaded at the init action or later. Please see Debugging in WordPress for more information. (This message was added in version 6.7.0.) in /home6/pormagod/public_html/wp-includes/functions.php on line 6114
Wofür Braucht Man Binomische Formeln? | Pormago
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Wofür braucht man binomische Formeln?

04.04.2021

Ich kann mich noch gut daran erinnern, wie wir als Schüler damals mit den binomischen Formeln in Berührung gekommen sind. Bis dahin gab es nur Punkt vor Strich, klammer zuerst. Aber auf einmal musste man beim lösen von Gleichungen ganz vorsichtig sein. Inmitten mancher Aufgaben haben sich diese seltsamen binomischen Formeln versteckt. Deren Ergebnis war so absolut anders als erwartet. Und außerdem musste man für Mathe auf einmal etwas auswendig lernen. Aber was hat es mit diesen Formeln eigentlich auf sich?

Wofür braucht man binomische Formeln? Es gibt drei binomische Formeln. Sie sind im Grunde eine erweiterte Anwendung der "Punkt vor Strich Regel" für Gleichungen mit Strich, Klammer und Quadrat. $${(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2},$$ $${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2},$$ $${(a+b)(a-b)=a^2-b^2}.$$

Woher kommen die binomische Formeln überhaupt?

Die brennende Frage einer jeder Schülerin und jedes Schülers: Woher kommen diese seltsamen Formeln? Hat sich das jemand ausgedacht und einfach entschieden, dass diese Klammen so gerechnet werden? Wieso sonst muss ich in Mathe plötzlich auch noch auswendig lernen?. 

Die meisten Schüler geben irgendwann nach und lernen die Formeln einfach auswendig. Dabei ist es doch wichtig den Grund einer Sache zu verstehen. Daher jetzt die Auflösung für alle Rebellen unter euch. Alle die sich weigern Dinge zu tun, die unnötig erscheinen. Und an einfach alle die es wissen wollen:

Binomische Formeln sind nichts anderes, als die Anwendung von drei bekannter Rechenregeln: Strich, Klammer, Quadrat. Wir alle kennen schon seit der Grundschule die einbängliche Regel: Punkt vor Strich.
Irgendwann wurde das dann zu: Punkt vor Strich, Klammer zuerst
Und schließlich zu folgender Reihenfolge:

  1. Potenzen innerhalb einer Klammer (also z.B. Quadrate)
  2. Klammern
  3. Potenzen außerhalb einer Klammer
  4. Punkt (also Mal und Geteilt)
  5. Strich (also Plus und Minus)

Damit wissen wir in welcher Reihenfolge eine Rechnung gelöst werden muss, um auf das richtige Ergebnis zu kommen. 

Beispiel gefällig?

Gehen wir folgende Rechnung der Reihe nach durch (du kannst das überspringen, wenn dir die Regeln klar sind).

$$(2^2+1)^2:5 + 1$$

1. Innere Potenzen:

$$(4+1)^2:5 +1$$

2. Klammer

$$5^2:5 +1$$

3. Potenzen außerhalb der Klammer

$$25:5 +1$$

4. Punkt (also in unserem Fall „geteilt durch“)

$$5 + 1$$

5. Strich (in unserem Fall „plus“)

$$6$$

Aber was hat das jetzt mit den binomischen Formeln zu tun?

Ganz einfach. Die binomischen Formeln sind nötig, um einen Konflikt in der oben gezeigten Reihenfolge zu lösen. 

Was für ein Konflikt denn?

Konkret geht es um die Regel 2 und Regel 3. Schließlich haben wir oben festgehalten dass: 

  • Erst die Klammer berechnen, dann
  • Die Potenz außerhalb der Klammer anwenden.

Für die Berechnung der Gleichung $$(a+b)^2$$ würde das bedeuten, wir müssen folgende Reihenfolge anwenden:

  1. $$(a+b) = ?$$
  2. $$?^2$$

Vielleicht erkennt ihr jetzt schon das Problem. Wenn a und b konkrete Zahlen sind, kann ich die Rechnung durchführen. Hier ein einfaches Beispiel mit $$(1+2)^2$$

  1. $$(1+2) = 3$$
  2. $$3^2 = 6$$

Das Problem geht aber los, wenn a und/oder b gar nicht bekannt sind. Also bei Rechnungen mit variablen oder beim auflösen auf x. Schauen wir uns das wieder in einem Beispiel an: $$(x+3)^2.$$ Eigentlich müssen wir jetzt folgende Reihenfolge anwenden.

  1. $$(x+3) = ?$$
  2. $$?^2$$

Und das ist jetzt genau das Problem. Wir wissen nicht was $$x+3$$ ergibt. 

Trotzdem dürfen wir jetzt den ersten Schritt nicht einfach überspringen und so tun, als gäbe es keine Klammer.   

Wir kommen so also nicht weiter. Die oberen Rechenregeln sagen uns nicht, wie so eine Aufgabe richtig gelöst wird. 

Was können wir tun?

 

Wir haben zwei Möglichkeiten weiterzumachen. 

  1. Wir warten drauf, dass riesige Steinplatten mit den binomischen Formeln vom Himmel fallen. 
  2. Wir verwenden einen anderen Zugang.

Möglichkeit 1 scheint ja nicht so attraktiv. Sowas kann ja ganz schön dauern. Gerade in Klausuren haben wir auch nicht ewig Zeit. Da wäre es super, eine alternative zu den binomischen Formel zu haben.

Ein alternativer Zugang zu den binomischen Formeln? 

Wie schon gesagt, fehlt es uns eigentlich nur an der passenden Rechenregel. Da müssen wir ansetzten.

Dabei hilft uns ein streng gehüteter Trick aller großen Mathematiker. Ihr wisst schon, so etwas in der Kategorie: Mathelehrer hassen diesen Trick!

Wenn du nicht weiter kommst, dann schreib die Gleichung um.

Gehen wir zurück zu unserem Beispiel und überlegen, was wir umschreiben können

$$(x+3)^2$$

Fällt dir was auf? Frag dich doch mal

Wofür steht das Quadrat (hoch Zwei) eigentlich?

Quadrat heißt nichts anderes als Zahl mit sich selbst multiplizieren. In unserm Fall kannst du die Rechnung also auch so schreiben:

$$(x+3)(x+3)$$

Binomische Formel = Multiplizieren zweier Klammern

Ok super. Eine binomische Formel is also nicht anderes als die Multiplikation zweier Klammer. Das haben wir ja schon in den Schulklassen vorher gelernt. Dabei gilt:

$$(x+3)(x+3) = x*x + x*3 + 3*x + 3*3 =$$ $$=x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 +6x + 9$$

Ist dir klar was du gerade geschafft hast?

Du hast eine Möglichkeit gefunden, ohne binomische Formeln durch die Klausur zu kommen. Wenn dir ein Binom unterkommt, musst du es nur in zwei gleiche Klammern umschreiben. Dann bist du das Quadrat lost, und kannst die bekannten Regeln verwenden. Das geht natürlich auch mit der zweiten Formel.

$$(x-3)(x-3) = x*x – x*3 – 3*x + (-3)*(-3)=$$ $$= x^2 – 3x – 3x + 9 = x^2 – 6x + 9$$

Unter uns: die dritte binomische Formel ist eine Möchtegern-Formel

Mit dem was ihr jetzt wissen, sollte klar sein: Die dritte binomische Formel ist eigentlich gar keine echte Formel. Ihr könnt das schließlich ganz einfach über die Regeln berechnen, die ihr eh schon kennt:

$$(x+3)(x-3) = x*x – x*3 + 3*x + 3*(-3) =$$ $$= x^2 – 3x + 3x – 9 = x^2 – 9$$

Sind die binomischen Formeln vom Himmel gefallen?

Das mag Anfangs vielleicht so aussehen. Wer meinen Post bis hierhin gelesen hat, kann das aber mit einem klaren NEIN beantworten. 

Ich behaupte all meine Leserinnen und Leser, können sich die binomischen Formeln jetzt sogar selbst herleiten! Und hier kommt der Beweis. 

  1. Wir wollen wissen wie folgende Klammer gerechnet werden muss

    $$(a+b)^2 = ?$$

  2. Dazu wenden wir unseren geheimen Trick von gerade eben an. Einfach die Gleichung umschreiben

    $$(a+b)(a+b)$$

  3. Jetzt müssen wir nur noch die klassischen Regeln anwenden

    $$(a+b)(a+b) = a*a + b*a + a*b + b*b =$$ $$= a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

Das geht natürlich genauso für die 2. Formel:

  1. $$(a-b)^2 = ?$$
  2. $$(a-b)(a-b)$$
  3. $$(a-b)(a-b) = a*a – b*a – a*b + (-b)*(-b) =$$ $$= a^2 – ab – ab + b^2 = a^2 – 2ab + b^2$$

Und auch für die 3. Formel (die eigentlich keine Formel ist):

  1. $$(a+b)(a-b)$$
  2. $$(a+b)(a-b) = a*a – a*b + b*a + b*(-b) =$$ $$= a^2 – ab + ab – b^2 = a^2 – b^2$$
Hi

Du bestimmst dein Schicksal

Hi, ich bin Markus, ehemaliger mittelmäßiger Realschüler und Mathematiker mit 1er Abschluss.
Moment, wie passt das denn zusammen? Nun, eines Tages ging mir einfach ein Licht auf. Und dasselbe kannst du auch. Denn wir bei Pormago glauben, dass jeder ALLES erreichen kann. Deshalb möchten wir dir helfen, die beste Version von dir zu sein - innerhalb & außerhalb des Klassenzimmers.

Share on facebook
Facebook
Share on pinterest
Pinterest
Share on twitter
Twitter
×
×

Warenkorb

Schön dass du wieder da bist.

ODER

Bitte wählen

Ich bin

Schüler

Wähle diese Option, wenn du Schüler(in) bei Pormago bist, und eine Frage zu unserem Dienst hast.

Coach

Wähle diese Option, wenn du Pormago Coach bist und eine Frage zu unserer Zusammenarbeit hast.

Du hast eine Frage

Wie können wir helfen?

Du hast eine Frage

Wie können wir helfen?

Du hast eine Frage

Wie können wir helfen?